BAB VI KOORDINAT KARTESIUS, VEKTOR DAN PERSAMAAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI

BAB VI

KOORDINAT KARTESIUS, VEKTOR DAN PERSAMAAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI

A.   Koordinat Kartesius dan Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Patokan mula yang diambil dalam koordinat kartesius dimensi tiga adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Meskipun letak garis-garis yang saling tegak lurus ini dapat diambil sesuka hati kita, namun kita mengambik kesepakatan sebagai berikut, sumbu y diambil mendatar, arah ke kanan merupakan arah positif dan arah ke kiri merupakan arah negatif. Sumbu z diambil vertikal dengan arah ke atas dinyatakan sebagai arah positif dan arah ke bawah sebagai arah negatif. Sumbu y dan sumbu z terletak pada kertas kita, sedangkan sumbu x tegak lurus pada kertas dan melalui titik potong sumbu y dan sumbu z. Sumbu x yang menuju kita sebagai arah positif dan arah lawannya sebagai arah negatif. Pengaturan sistem seperti ini dinamakan sistem tangan kanan. Dinamakan demikian, karena jika empat jari tangan kanan dikepalkan sehingga melengkung sari sumbu x positif ke arah sumbu y positif dan ibu jari akan mengarah ke sumbu z positif. Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz. Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III,IV,..., VIII.

Oktan-oktan I, II, III, dan IV di atas bidang xy dan lainnya di bawah bidang xy. Oktan-oktan V, VI, VII, dan VIII berturut-turut tepat di bawah oktan-oktan I, II, III, dan IV.

Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik-titik itu ke bidang-bidang koordinat yz, xz, dan xy dan arah positif atau negatif. Oleh karena itu suatu titik tertentu oleh pasangan (tripel) tiga bilangan, misalnya titik P (x,y,z). Pasangan pertama, yaitu x disebut koordinat x atau absis. Pasangan kedua, yaitu y disebut koordinat y atau ordinat dan pasangan ketiga disebut koordinat z atau apilikat.
Banyak rumus-rumus yang diperoleh dari koordinat dua dimensi dapat diperluas ke tiga dimensi. Sebagai contoh, untuk menentukan jarak antara dua titik dalam ruang, kita dapat menggunakan Teorema Pythagoras dua kali. Dengan melakukan ini, kita akan memperoleh rumus jarak antara dua titik (x₁, y₁, z₁) dan (x₂, y₂, z₂).

           

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Kosinus arah suatu vektor

  


B.   Persamaan Bidang Datar

Persamaan suatu garis dalam ruang dapat diperoleh dari suatu titik pada garis dan vektor yang sejajar dengan garis tersebut. Sekarang kita akan melihat bahwa persamaan suatu bidang dalam ruang dapat diperoleh dari suatu titik pada bidang dan vektor normal (tegak lurus) terhadap bidang tersebut.

Bidang yang memuat titik (x₁,y₁,z₁) dan memiliki vektor normal

Dapat direpresentasikan oleh suatu bidang yang memiliki persamaan dalam bentuk baku:
Dengan mengelompokkan kembali suku-suku pada persamaan di atas, kita mendapatkan bentuk umum persamaan suatu bidang dalam ruang.

Bentuk Umum Persamaan Bidang:

Sudut Antara Dua Bidang Datar

Sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara vektor-vektor normalnya.

Kedudukan Dua Buah Bidang Datar:

1.      Sejajar

2.      Tegak Lurus

            
Jarak Antara Sebuah Titik ke Bidang:

            Jika d adalah jarak dari sebuah titik, misalkan P (x₁,y₁,z₁) ke bidang Ax + By + Cz =          D, maka:

TUGAS:

Gambarkanlah garis potong pada ketiga bidang berikut:

1.      x + 2z = 6

2.      x – 2y + 2z = 4

3.      3x + 2y + z = 10

Penyelesaian:

1.      Membuat gambar untuk x +2z = 6

Ø  Titik potong di sumbu x, y = z = 0

Diperoleh (6,0,0)

Ø  Titik potong di sumbu y, x = z = 0

Diperoleh (0,0,0)

Ø  Titik potong di sumbu z, x = y = 0

Diperoleh (0,0,3)

2.      Membuat ganbar untuk x – 2y +2z = 4

Ø  Titik potong di sumbu x, y = z = 0

Diperoleh (4,0,0)

Ø  Titik potong di sumbu y, x = z = 0

Diperoleh (0,-2,0)

Ø  Titik potong di sumbu z, x = y = 0

Diperoleh (0,0,2)

3.      Membuat gambar untuk 3x + 2y + z = 10

Ø  Titik potong di sumbu x, y = z = 0

Diperoleh (3.3,0,0)

Ø  Titik potong di sumbu y, x = z = 0

Diperoleh (0,5,0)

Ø  Titik potong di sumbu z, x = y = 0

Diperoleh (0,0,10)

            Berdasarkan penjelasan di atas, apabila ketiga bidang tersebut di gabungkan, maka ketiga bidang akan berpotongan di suatu titik tertentu, seperti pada gambar berikut:

Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa dari ketiga bidang tersebut memiliki garis potong / titik potong.

BABA V PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

BAB V

PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

A.    Persamaan Parametrik

Kurva-kurva yang berada dalam bidang datar dapat di representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap titik-titik pada kurva x dan y merupakan fungsi dari t.Variabel t dinamakan parameter. Secara singkat ditulis:

x = x (t)

y = y (t)

Perlunya menggunakan fungsi parametrik adalah karena suatu kurva berubah posisi koordinatnya (x,y) lebih karena dipengaruhi oleh faktor “t”. Sehingga kadang kurva terlihat begitu rumit, model kurva ini dibagi menjadi 4 kelompok:

1)      Kurva tidak sederhana dan tidak tertutup

2)      Kurva tidak tertutup sederhana

3)      Kurva tertutup sederhana

4)      Kurva tertutup tidak sederhana

Membuat Sketsa Kurva Persamaan parametrik :

Contoh:

Gambarlah kurva persamaan parametrik: x = t, y = t Untuk -4 ≤ t ≤ 4

Penyelesaian:

Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri dari kolom t, x dan y. Kemudian plot nilai-nilai x terhadap y.

Kurva yang dihasilkan berupa parabola.

Mengubah Persamaan Parametrik menjadi Persamaan Kartesius:

Contoh:

Ubahlah persamaan parametrik ke dalam bentuk kartesius.

Penyelesaian:

      Persamaan kartesius (berupa persamaan kuadrat)



Mengubah Persamaan Kartesius menjadi Persamaan Parametrik:

Contoh:

Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesius xy = 9

Penyelesaian:

B.     Vektor Pada Bidang

Banyak besaran-besaran yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya, berat, panjang, volume, muatan listrik dan luas. Besaran ini dapat inyatakan dengan suatu bilangan. Besaran seperti ini dinamakan skalar. Ada besaran lain, seperti kecepatan, gaya, torsi, pergeseran/perpindahan, yang untuk menggambarkannya selain dengan bilangan memerlukan arah. Besaran seperti ini dinamakan vektor. Vektor digambarkan anak panah (ruas garis berarah). Panjang ruas garis menyatan besarnya vektor dan arah anak panah menyatakan arah vektor. Vektor adalah himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah sama. Dua vektor dikatakan ekuivalen jika kedua vektor tersebut memiliki besaran dan arah yang sama.

Kita dapat menuliskan vektor tersebut dengan huruf tebal, seperti u dan v. Besaran darivektor u dilambangkan dengan |u|.

Penjumlahan Vektor

            Untuk memperoleh jumlah (resultante dua vektor u dan v , yaitu u + v, gambarlah vektor v yang titik pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor u. Maka u + v adalah vektor yang menghubungkan titik pangkal u dan titik ujung vektor v.

            Cara penjumlahan vektor seperti ini disebut cara segitiga (aturan segitiga). Cara lain dalam penjumlahan vektor dinamankan cara/aturan jajargenjang. Cara ini dilakukan dengan menggambarkan vektor v sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor u. Selanjutnya dibuat garis dari ujung u sejajar v dan garis dari ujung v sejajar u , sehingga didapat bangun jajargenjang. Maka u + v adalah vektor yang bertitik pangkal berimpit dengan titik pangkal u dan berimpit dengan diagonal jajaran genjang.

Kedua cara ini merupakan cara yang ekuivalen untuk menentukan penjumlahan dari vektor, dan pada penjumlahan vektor berlaku pula sifat komukatif dan asosiatif. Yaitu:

Teorema:

Operasi pada Vektor:

Gambar:

a.       Penjumlahan Vektor

b.      Perkalian Vektor

Panjang dan Hasil Kali Titik

Perkalian dua vektor u dan v dinamakan hasil kali titik, yang dilambangkan dengan u.v. Hasil kali titik dari suatu vektor u = <u₁ , u₂> dan v = <v₁ , v₂> dapat dinyatakan dengan;




Teorema C (Kriteria Ketegaklurusan)