Geometri Analitik: BAB IV KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

BAB IV

KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

A. Koordinat Kutub

Sistem koordinat kutub dalam suatu bidang terdiri dari satu titik tetap O yang disebut titik asal atau titik kutub dan sebuah garis berarah yang bermula dari titik asal tersebut, yang disebut dengan sumbu kutub. Dalam koordinat kutub, setiap titik P dinyatakan dalam pasangan (r, θ), di mana r adalah jarak titik P ke titik asal, dan θ adalah sudut dari sumbu kutub ke garis OP. Bilangan r disebut koordinat radial dan q disebut koordinat angular atau sudut kutub dari P. Sudut dinyatakan dalam angka positif jika diukur berlawanan jarum jam dan dinyatakan dengan angka negatif jika diukur searah jarum jam.

Beberapa contoh koordinat kutub:

Titik-titik yang dilukiskan oleh koordinat kutub paling mudah digambar apabila kita menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas demikian telah tergambar lingkaran-lingkaran yang sepusat dan sinar-sinar yang memancar dari pusat itu. Kita dapat melihatnya pada gambar berikut, pada gambar ini telah terlukis beberapa titik.

Perhatikan sebuah sifat berikut yang tidak ada pada sebuah system koordinat Cartesius. Tiap titik memiliki banyak koordinat kutub. Ini adalah akibat sifat bahwa sudut-sudut θ+ 2π n, n = 0,±1,±2,...memiliki kaki-kaki yang sama. Misalnya, titik dengan koordinat kutub (4, π/2) juga memiliki koordinat (4, 5π/2), (4, 9π/2), (-4, 3π/2), dan seterusnya. Bahkan hal ini berlaku juga jika r diperbolehkan memiliki nilai yang negatif. Dalam hal ini (r, θ) terletak pada sinar yang berlawanan arah dengan sinar yang dibentuk oleh θ dan yang terletak r satuan dari titik asal. Dengan demikian, titik dengan koordinat kutub (-3, π/6) dapat kita lihat pada gambar berikut.Titik asal mempunyai koordinat (0, θ), di mana θ sudut sembarang.

Contoh:

Gambarlah grafik persamaan kutub r = 8 sin θ

Penyelesaian :

Kita ganti kelipatan π/6 untuk θ dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Apabila θ naik dari 0 hingga 2π, grafik dilintasi dua kali.

Hubungan antara Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius

Hubungan antara koordinat kutub dan koordinat Cartesius dapat dilihat pada gambar berikut ini:

Untuk menyatakan koordinat Cartesius dalam koordinat kutub dapat digunakan rumus berikut:

Sedangkan untuk menyatakan koordinat kutub dalam koordinat Cartesius dapat digunakan rumus berikut:

sumber: https://learnwithalice.wordpress.com/2014/06/25/koordinat-kutub/

B. Persamaan Kutub dan Grafiknya

Jika sebuah garis melalui kutub, persamaannya adalah θ = θ₀. Apabila garis tidak melalui kutub, maka garistersebut berjarak misalnya d dari kutub(d>0). Andaikan θ₀ sudut antara sumbu kutub dan garis tegak lurus dari kutub pada garis itu (pada gambar garis). Apabila P (r, θ) sebuah titik pada garis, maka cos (θ- θ₀) = d/r, atau

Apabila sebuah lingkaran dengan jari-jari a berpusat di kutub, pesamaannya adalah r = a. Apabila pusatnya di (r₀, θ₀), persamaannya agak rumit, kecuali kalau kita pilih r₀= a (pada gambar lingkaran). Maka menurut hukum kosinus, a2 = r2 + a2 – 2ra cos (θ- θ₀) yang dapat disederhanakan menjadi :

Lingkaran : r = 2a cos (θ- θ₀)

Akhirnya kalau sebuah konik (elips, parabol atau hiperbol) diletakkan sedemikian hingga fokusnya berada di kutub, garis arahnya berjarak d satuan dari kutub (pada gambar konik), maka dengan menggunakan definisi konik, kita akan memperoleh:

atau

Hasil di atas kita ikhtisarkan dalam diagram berikut:

Contoh:

Tentukan persamaan elips mendatar dengan keeksentrikan 1/2, berfokus di kutub dan dengan garis arah tegak yang jaraknya 10 satuan disebelah kanan kutub.

Penyelesaian :

Grafik persamaan kutub yang telah dibahas sebelumnya terdiri atas garis, lingkaran dan konik. Sekarang kita akan membahas grafik-grafik yang lebih rumit bentuknya, yaitu kardioid, limason, mawar dan spiral. Walaupun bentuk grafiknya rumit, namun persamaannya tetap sederhana kalu digunakan persamaan kutub. Dituangkan dengan koordinat siku-siku, persamaannya tidak lagi sederhana. Jadi kita dapat melihat keuntungan adanya system koordinat ini. Ada kurva-kurva yang persamaannya sederhana dalam suatu system dan ada kurva yang persamaannya sederhana dalam system lain. Sifat demikian akan kita gunakan kelak untuk memecahkan suatu persoalan dengan memilih suatu system koordinat yang tepat.

Sifat simetri dapat membantu kita menggambar sebuah grafik. Di bawah ini ada beberapa pengujian kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. Kebenarannya dapat dilihat pada gambar yang bersangkutan.

1. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x (yaitu sumbu kutub dan perpanjangannya ke kiri) apabila θdiganti dengan –θmenghasilkan persamaan yang sama.