BABA V PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

BAB V

PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

A.    Persamaan Parametrik

Kurva-kurva yang berada dalam bidang datar dapat di representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap titik-titik pada kurva x dan y merupakan fungsi dari t.Variabel t dinamakan parameter. Secara singkat ditulis:

x = x (t)

y = y (t)

Perlunya menggunakan fungsi parametrik adalah karena suatu kurva berubah posisi koordinatnya (x,y) lebih karena dipengaruhi oleh faktor “t”. Sehingga kadang kurva terlihat begitu rumit, model kurva ini dibagi menjadi 4 kelompok:

1)      Kurva tidak sederhana dan tidak tertutup

2)      Kurva tidak tertutup sederhana

3)      Kurva tertutup sederhana

4)      Kurva tertutup tidak sederhana

Membuat Sketsa Kurva Persamaan parametrik :

Contoh:

Gambarlah kurva persamaan parametrik: x = t, y = t Untuk -4 ≤ t ≤ 4

Penyelesaian:

Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri dari kolom t, x dan y. Kemudian plot nilai-nilai x terhadap y.

Kurva yang dihasilkan berupa parabola.

Mengubah Persamaan Parametrik menjadi Persamaan Kartesius:

Contoh:

Ubahlah persamaan parametrik ke dalam bentuk kartesius.

Penyelesaian:

      Persamaan kartesius (berupa persamaan kuadrat)



Mengubah Persamaan Kartesius menjadi Persamaan Parametrik:

Contoh:

Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesius xy = 9

Penyelesaian:

B.     Vektor Pada Bidang

Banyak besaran-besaran yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya, berat, panjang, volume, muatan listrik dan luas. Besaran ini dapat inyatakan dengan suatu bilangan. Besaran seperti ini dinamakan skalar. Ada besaran lain, seperti kecepatan, gaya, torsi, pergeseran/perpindahan, yang untuk menggambarkannya selain dengan bilangan memerlukan arah. Besaran seperti ini dinamakan vektor. Vektor digambarkan anak panah (ruas garis berarah). Panjang ruas garis menyatan besarnya vektor dan arah anak panah menyatakan arah vektor. Vektor adalah himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah sama. Dua vektor dikatakan ekuivalen jika kedua vektor tersebut memiliki besaran dan arah yang sama.

Kita dapat menuliskan vektor tersebut dengan huruf tebal, seperti u dan v. Besaran darivektor u dilambangkan dengan |u|.

Penjumlahan Vektor

            Untuk memperoleh jumlah (resultante dua vektor u dan v , yaitu u + v, gambarlah vektor v yang titik pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor u. Maka u + v adalah vektor yang menghubungkan titik pangkal u dan titik ujung vektor v.

            Cara penjumlahan vektor seperti ini disebut cara segitiga (aturan segitiga). Cara lain dalam penjumlahan vektor dinamankan cara/aturan jajargenjang. Cara ini dilakukan dengan menggambarkan vektor v sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor u. Selanjutnya dibuat garis dari ujung u sejajar v dan garis dari ujung v sejajar u , sehingga didapat bangun jajargenjang. Maka u + v adalah vektor yang bertitik pangkal berimpit dengan titik pangkal u dan berimpit dengan diagonal jajaran genjang.

Kedua cara ini merupakan cara yang ekuivalen untuk menentukan penjumlahan dari vektor, dan pada penjumlahan vektor berlaku pula sifat komukatif dan asosiatif. Yaitu:

Teorema:

Operasi pada Vektor:

Gambar:

a.       Penjumlahan Vektor

b.      Perkalian Vektor

Panjang dan Hasil Kali Titik

Perkalian dua vektor u dan v dinamakan hasil kali titik, yang dilambangkan dengan u.v. Hasil kali titik dari suatu vektor u = <u₁ , u₂> dan v = <v₁ , v₂> dapat dinyatakan dengan;




Teorema C (Kriteria Ketegaklurusan)