BAB III IRISAN KERUCUT SEBAGAI KURVA BERDERAJAT DUA

BAB III

IRISAN KERUVUT SEBAGAI KURVA BERDERAJAT DUA

Irisan Kerucut

Rumus jarak, jarak titik dengan titik dan jarak titik dengan garis, dapat digunakan untuk menentukan persamaan dari kurva-kurva irisan kerucut. Tetapi sebelum menentukan persamaan-persamaan tersebut, kita akan membahas beberapa keluarga kurva yang dihasikan oleh irisan kerucut. Topi ulang tahun merupakan salah satu contoh kerucut yang dapat dijumpai di sekitar kita. Titik pada kerucut disebut titik puncak dan lembaran kertas yang membentuk sisi kerucut disebut selimut kerucut. Sesuai dengan namanya kurva-kurva dalam keluarga irisan kerucut, dapat dihasilkan dengan mengiris suatu kerucut, atau lebih tepatnya, kurva-kurva tersebut merupakan hasil perpotongan suatu bidang dengan kerucut. Apabila bidang tersebut tidak melalui titik puncak, irisannya akan menghasilkan lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Perhatikan gambar berikut.

Namun para ahli matematika telah menyepakati bahwa secara umum bentuk irisan kerucut adalah parabola, elips, dan hiperbola. Sedangkan lingkaran merupakan kasus khusus dari elips. Masing-masing kurva tersebut memiliki persamaan kurva berderajat dua yang unik.

Hasil irisan kerucut tersebut memperlihatkan bahwa kedudukan titik-titik akan bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap sehingga terbentuk irisan kerucut. Tiap irisan kerucut memiliki komponen-komponen yang menjadi karakteristik dari tiap bentuk kurva yaitu esentrisitas (eccentricity), garis direktriks (directrix), dan titik fokus. Misalkan sebuah titik P bergerak terhadap sebuah garis tetap l, dan sebuah titik tetap F. Jarak P ke F dinyatakan oleh d dan jarak P ke l dinyatakan oleh d¢. Perbandingan jarak d dan d¢ disebut esentristitas yaitu e = d : d¢. Garis l disebut garis direktriks dan titik F disebut titik fokus. Nilai esentrisitas akan menentukan jenis irisan kerucut dengan nilai e meliputi e < 1, e = 1, dan e > 1.

Karakteristik tiap kurva :

1.      Esentrisitas (accentricity)

2.      Garis direktriks (directrix) = garis tetap

3.      Titik fokus

Sebuah kurva bidang (plane curve) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut :

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Nilai koefisiean A dab B keduanya tidak nol. Bentuk persamaan kurva berderajat dua juga dapat dinyatakan sebagai berikut :

ax² + by² + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0

dengan nilai koefisien a, b, dan h ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Jika kurva berderajat dua melalui titik (0, 0) maka diperoleh persamaan kurva yaitu :

Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak bersamaan bernilai nol

atau

ax² + by² + 2gx + 2fy + c = 0

dengan nilai koefisien a dan b keduanya tidak bersamaan bernilai nol.

1.     LINGKARAN

A.    Konsep Jarak :

CP =  = r
(x- a)² + (y – b)² = r²

x² + y² -2ax -2by + a² + b² + r² = 0

 x² + y² -2ax -2by + C = 0

B.     Sifat Lingkaran :

1.      Punya satu titik pusat dan jarak tertentu secara aljabar.

2.      (x- a)² + (y – b)² = r² dengan x,y titik pusat dan r adalah jari-jari.

3.      Jadi, Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 adalah persamaan lingkaran jika : A = 1, B = 1, C = 0, D = -2a, E = -2b , F = C = a² + b² – r^2.

C.    Garis Singgung Lingkaran:

OP = jari-jari

g = garis singgung di P

Sifat : tegak lurus terhadap jari-jari

Jika diketahui garis y = mx +n dan lingkaran x² + y² = r², maka persamaan garis singgung yang sejajar y = mx + n yaitu y = mx + k dimana k=  sehingga diperoleh 2 garis singgung.

y = m dan y = m

D.    Sifat-sifat garis kutub :

1.      Menghubungkan 2 titik singgung dari garis-garis singgung yang berpotongan di (x₀, y₀).

2.      Tegak Lurus terhadap garis yang menghubungkan (x₀, y₀) dari titik pusat lingkaran.

2.     ELIPS

Sebelum membahas mengenai persamaan elips, mari kita ingat-ingat kembali persamaan dari suatu lingkaran. Lingkaran yang memiliki titik pusat di titik (a, b) dan berjari-jari r memiliki persamaan (x – a)² + (y – b)² = r². Dengan membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan r², kita akan memperoleh :

Pada persamaan yang terakhir, nilai r pada masing-masing penyebut secara berturut-turut merupakan jarak vertikal dan horizontal dari titik pusat ke grafik. Lalumungkin kita akan bertanya, bagaimana jika nilai dari penyebut-penyebut tersebut berbeda? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan persamaan berikut.

Pusat dari grafik persamaan di atas tetaplah (3, –2), karena a = 3 dan b = –2. Dengan mensubtitusi y = –2, kita dapat menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut.

Hasil di atas, menunjukkan bahwa jarak horizontal titik pusat terhadap grafik adalah 4 satuan, yaitu jarak titik pusat (3, –2) terhadap titik-titik (–1, –2) dan (7, –2). Dengan cara yang serupa, untuk x = 3 kita akan mendapatkan (y + 2)² = 9, sehingga diperoleh y = –5 dan y = 1. Hal ini menunjukkan bahwa jarak vertikal titik pusat terhadap grafik adalah 3, yaitu jarak titik (3, –2) terhadap titik-titik (3, –5) dan (3, 1). Sehingga, dengan mengganti penyebut-penyebut yang tidak sama pada suatu persamaan lingkaran, kita akan mendapatkan suatu grafik memanjang dari lingkaran. Grafik berikut merupakan  grafik suatu Elips

 
Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.

·         Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2p, dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q.

·         Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu-y) dengan panjang 2q, dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p.

Dari pengamatan kita di atas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips sebagai berikut.

A.    Bentuk Standar dari Persamaan Elips.

Diberikan persamaan,

Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.

Garis singgung elips di titik (x₁, y₁) bisa dirumuskan sebagai berikut:

3.     HIPERBOLA

Seperti kita ketahui, hiperbola merupakan salah satu keluarga irisan kerucut yang dibentuk akibat irisan bidang yang tegak lurus dengan selimut kerucut. Suatu hiperbola memiliki 2 bagian simetris yang disebut cabang, yang terbuka ke arah yang saling berlawanan. Walaupun cabang-cabang tersebut terlihat menyerupai parabola, nantinya kita akan menginvestigasi bahwa cabang-cabang tersebut dan parabola merupakan kurva yang sangat berbeda.

Perhatikan bahwa persamaan Ax² + By² = F merupakan persamaan suatu lingkaran apabila A = B dan juga merupakan persamaan suatu elips jika A ≠ B. Dua kasus tersebut memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua. Selanjutnya mungkin kita akan bertanya-tanya, bagaimana jika persamaannya berupa pengurangan suku-suku berderajat dua. Perhatikan persamaan 9x² – 16y² = 144. Dari persamaan tersebut kita dapat mengetahui bahwa titik pusatnya adalah titik asal (0, 0) karena tidak ada pergeseran pada variabel x dan y (a dan b keduanya adalah 0). Dengan menggunakan metode perpotongan kurva, kita dapat menggambar grafik tersebut dan menghasilkan suatu grafik hiperbola.

Contoh 1: Menggambar Grafik Hiperbola Pusat

Gambarlah grafik persamaan 9x² – 16y² = 144 dengan menggunakan perpotongan kurva dan beberapa titik tambahan jika diperlukan.

Pembahasan:

Dengan substitusi x = 0, kita akan menentukan perpotongan kurva tersebut dengan sumbu-y.

Karena nilai y² tidak pernah negatif, kita dapat menyimpulkan bahwa kurva tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-y. Selanjutnya, kita substitusi y = 0 untuk menentukan titik potongnya terhadap sumbu-x.

Dengan mengetahui bahwa grafik tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-y, kita pilih nilai x yang lebih dari 4 dan kurang dari –4 untuk membantu sketsa grafik tersebut. Dengan menggunakan x = 5 dan x = –5 menghasilkan,

Dengan memplot titik-titik yang telah kita temukan di atas kemudian menghubungkannya dengan kurva halus, dan karena kurva tersebut tidak berpotongan dengan sumbu-y, maka grafik dari persamaan yang diberikan dapat digambarkan sebagai berikut.

Karena hiperbola di atas memotong sumbu simetri horizontalnya, maka hiperbola di atas disebut sebagai hiperbola horizontal. Titik-titik (4, 0) dan (–4, 0) disebut sebagai titik-titik puncak, dan titik pusat dari hiperbola selalu berada di tengah-tengah titik puncak parabola tersebut. Jika titik pusat hiperbola berada pada titik (0, 0), maka hiperbola tersebut disebut sebagai hiperbola pusat. Sebagai catatan, titik pusat hiperbola bukan merupakan bagian dari kurva, sehingga titik pusat hiperbola di atas, titik yang berwarna biru, digambarkan sebagai titik yang terbuka. Garis yang melewati titik pusat dan titik-titik puncak hiperbola disebut sebagai sumbu transversal, sedangkan garis yang melalui titik pusat dan tegak lurus dengan sumbu transversal ini disebut sebagai sumbu konjugasi.

Pada contoh 1, koefisien dari x² merupakan bilangan yang positif kemudian dikurangkan dengan 16y²: 9x² – 16y² = 144. Hasil yang diperoleh merupakan hiperbola horizontal. Jika suku-y² positif kemudian dikurangkan dengan suku yang memuat x², hasilnya merupakan suatu hiperbola vertikal. Lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

Persamaan garis siggung pada hiperbola.

a.      Persamaan garis singgung hiperbola yang melalui suatu titik pada hiperbola

Persamaan hiperbola yang berpusat di O (0,0) adalah :

Maka persamaan garis singgung yang melalui titik (x₁ , y₁ ) adalah :

Sedangkan persamaan hiperbola yang berpusat di P (p,q) adalah :

Maka persamaan garis singgung yang melalui titik (x₁ , y₁) adalah :

b.      Persamaan garis singgung pada Hiperbola dengan gradient tertentu

Jika persamaan hiperbolanya

, maka persamaan garis singgungnya adalah :

…… persamaan 1

Jika persamaan hiperbolanya adalah

, maka persamaan garis singgungnya adalah :

y = mx

……persamaan 2

Jika persamaan hiperbolanyamaka persamaan garis singgungnya adalah :

y – q = m (x – p)….. persamaan 3

Jika persamaan hiperbolanya, maka persamaaan garis singgungnya adalah :

y – q = m(x – p) 

4.     PARABOLA

Seperti pada elips dan hiperbola, banyak sekali aplikasi parabola yang bertumpu pada definisi analitisnya daripada bentuk aljabarnya. Aplikasi-aplikasi tersebut, misalkan pembangunan teleskop radio dan perusahaan lampu senter, menggunakan definisi analitis parabola dalam penentuan lokasi fokus dari parabola tersebut. Berikut ini definisi analitis dari suatu parabola.

A.    Definisi Parabola

Diberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatu parabola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antara f dan (x, y) sama dengan jarak antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokus parabola dan garis D disebut sebagai direktriks.

Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan mengkombinasikan definisi di atas dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi keumuman, kita dapat menganggap parabola yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik fokus di (0, p). Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud memiliki direktriks dengan persamaan y = –p , sehingga semua titik pada D dapat dituliskan sebagai (x, –p).

Dengan menggunakan rumus jarak dan menerapkan definisi bahwa d₁ = d₂, kita mendapatkan,

Persamaan terakhir di atas disebut persamaan bentuk fokus-direktriks dari suatu parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Jika parabola di atas diputar sehingga terbuka ke kanan, maka kita akan mendapatkan suatu parabola horizontal dengan titik puncak di (0, 0), dan persamaannya adalah y² = 4px.

B.     Persamaan Parabola dalam Bentuk Fokus-Direktriks

Suatu parabola vertikal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: x² = 4py, yang memiliki fokus di (0, p) dan dengan direktriks: y = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke atas. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke bawah.

Suatu parabola horizontal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: y² = 4px, yang memiliki fokus di (p, 0) dan dengan direktriks: x = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke kanan. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke kiri.

Untuk lebih memahami mengenai persamaan suatu parabola dalam bentuk fokus-direktriks, perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menentukan Fokus dan Direktriks dari suatu Parabola

Tentukan titik puncak, fokus, dan direktris dari parabola yang didefinisikan oleh persamaan x² = –12y. Kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktrisnya.

Pembahasan:

Karena hanya suku-x yang dikuadratkan dan tidak ada pergeseran yang diterapkan, maka parabola tersebut merupakan parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Dengan membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan umum parabola bentuk fokus-direktriks kita dapat menentukan nilai p:

Karena p = –3 (p < 0), maka parabola tersebut terbuka ke bawah, dengan titik fokus di (0, –3) dan direktriksnya y = 3. Untuk menggambar grafiknya, kita perlu beberapa titik tambahan yang dilalui oleh parabola tersebut. Karena 36 = 6² dapat dibagi oleh 12, maka kita dapat mensubstitusikan x = 6 dan x = –6, dan menghasilkan titik-titik (6, –3) dan (–6, –3). Sehingga grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Dari grafik di atas, kita dapat mengetahui bahwa garis x = 0 merupakan sumbu simetri dari grafik parabola yang diberikan. Sebagai titik-titik alternatif dalam menggambar grafik parabola, kita dapat menggunakan apa yang disebut tali busur fokus dari parabola. Serupa dengan elips dan hiperbola, tali busur fokus adalah ruas garis yang melalui fokus, sejajar dengan direktriks, dan titik-titik ujungnya terletak pada grafik. Dengan menggunakan definisi dari parabola, jarak horizontal dari f ke (x, y) adalah 2p. Karena d₁ = d₂, maka ruas garis yang sejajar dengan direktriks dari fokus ke grafik memiliki panjang |2p|, dan panjang tali busur fokus dari sembarang parabola adalah |4p|. Dan akhirnya, jika titik puncak dari suatu parabola vertikal digeser ke (h, k), maka persamaan dari parabola tersebut akan menjadi (x ± h)2 = 4p(y ± k). Seperti pada keluarga irisan kerucut lainnya, pergeseran vertikal dan horizontalnya berlawanan dengan tandanya (positif atau negatif).

Contoh 2: Menentukan Fokus dan Direktriks dari suatu Parabola

Tentukan titik puncak, fokus, dan direktriks dari persamaan parabola yang diberikan, kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktriksnya: x² – 6x + 12y – 15 = 0.

Pembahasan:

Karena hanya suku-x yang dikuadratkan, maka grafik dari persamaan tersebut berbentuk parabola vertikal. Untuk menentukan kecekungan, titik puncak, fokus, dan direktriks, kita terlebih dulu melengkapkan kuadrat dalam x dan membandingkannya dengan persamaan bentuk fokus-direktriks dengan pergeseran.

Dari persamaan yang dihasilkan, kita dapat melihat bahwa grafiknya merupakan suatu parabola yang digeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan. Oleh karena itu, semua unsur dari parabola tersebut juga akan bergeser. Karena kita mendapatkan 4p = –12, maka p = –3 (p < 0) dan parabola tersebut terbuka ke bawah. Jika parabola tersebut berada pada posisi biasa, maka titik puncaknya akan di (0, 0), fokusnya di (0, –3), dan direktriksnya y = 3. Karena parabola tersebut bergeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan, maka kita harus menambahkan nilai x dengan 3 dan nilai y dengan 2 dari semua unsur parabola tersebut. Sehingga titik puncaknya akan berada di (0 + 3, 0 + 2) = (3, 2), fokusnya pada (0 + 3, –3 + 2) = (3, –1), dan direktriksnya adalah y = 3 + 2 = 5. Dan akhirnya, jarak horizontal antara fokus dan grafik adalah |2p| = 6 satuan (karena |4p| = 12), sehingga memberikan titik-titik tambahan yang dilalui grafik, yaitu (–3, –1) dan (9, –1).

Dalam banyak kasus, kita perlu untuk menentukan persamaan dari parabola ketika hanya beberapa informasi yang diketahui, seperti yang dicontohkan oleh contoh 3 berikut.

Contoh 3: Menentukan Persamaan dari suatu Parabola

Tentukan persamaan dari parabola yang memiliki titik puncak (4, 4) dan fokus (4, 1). Kemudian gambarkan grafiknya dengan menggunakan persamaan dan tali busur fokusnya.

Pembahasan:

Karena titik puncak dan fokusnya terletak pada garis vertikal, maka parabola yang dimaksud merupakan suatu parabola vertikal yang memiliki persamaan umum (x ± h)² = 4p(y ± k). Jarak p dari fokus ke titik pusat adalah 3 satuan, dan karena fokus berada di bawah titik puncak, maka grafiknya terbuka ke bawah dan p = –3. Dengan menggunakan tali busur fokus, jarak horizontal dari fokus ke grafik adalah |2p| = |2(–3)| = 6, memberikan titik-titik (–2, 1) dan (10, 1). Titik puncaknya digeser 4 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas dari (0, 0), sehingga diperoleh h = 4 dan k = 4. Sehingga persamaan dari parabola tersebut adalah (x – 4)² = –12(y – 4), dengan direktriks y = 7. Grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Perhatikan bahwa grafik parabola di atas memiliki sumbu simetri di garis x = 4.

C.    Persamaan garis singgung pada parabola dengan titik singgung  (x₁, y₁)

1.      Persamaan garis singgung melalui titik (X1,Y1) di puncak (0 , 0)

Yang terletak pada parabola y² = -4px   dapat dinyatakan sebagai berikut :

y – y₁ = m ( x – x₁ )

Dengan tafsiran geometri turunan , besar m dapat dicari sebagai berikut

Dititik (x₁,y₁ ) : M = - 2P/ Y₁

Dengan demikian garis singgung yang dimaksud adalah y₁y = -2p ( X + X₁)

Nilai m = -2p/ y₁  didistribusikan ke persamaan y – y₁ = m ( x – x₁) diperoleh

y – y₁ = - 2p/ y₁ ( X – X₁)

y₁ ( y -y₁ ) = -2px + 2px₁

y₁y – y₁² = - 2px + 2px₁  ( ingat y₁² = - 4px)

y₁y –(- 4px )  = - 2px + 2px₁  

y₁y + 4px   = - 2px + 2px₁

y₁y = -2 px – 2 px ₁

y₁y = -2p ( x + x₁)

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti pada tabel dibawah ini:

No	Persamaan parabola	Persamaan garis singgung
1	y2 = 4px	y1 y =2p (x + x1)
2	y2 = - 4px	y1 y  = - 2p (x + x1)
3	x2  = 4py	x1 x = 2p (y + y1  )
4	x2 = - 4py	x1 x  = - 2p (y + y1  )

2.       Persamaan garis singgung melalui titik (x₁, y₁) yang terletak pada titik (a,b)

Yang terletak pada titik  (y₁ – b)² =  4p( x₁ – a) adalah :

            (y₁ – b)² =  4p( x₁ – a)

y₁² – 2by₁ + b² = (4p (x₁ – a)

y₁² = 2by₁ –b² + 4px(x₁ – a)    .........(i)

Persamaan garis singgung melalui P (x₁, y₁)  adalah (y – y₁) = m (x – x₁)............(ii)

Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:

(y – b )² = 4p ( x – a )

(x – a ) =  ( y – b )

(y – b)

Jadi m di titik P (x₁, y₁) =  ………(iii)

Subtitusi (iii) ke (ii)

y – y₁ = m ( x – x₁ )

y – y₁ =  ( x – x₁ )

(y – y₁ ) ( y₁ – b ) = 2p ( x – x₁ )

yy₁ – by – y₁ + by₁ = 2p ( x – x₁ ) ………. ( iv)

Subsitusi persamaan (i) ke persamaan ( iv)

yy₁- by – y₁²  +  by₁ = 2px – 2px₁

yy₁- by – (2 by₁ – b² + 4p ( x₁ – a ) 0  +  by₁ = 2px – 2px₁

yy₁- by – by₁  + b²  = 4 px₁ – 4pa  + 2px – 2px₁

(y – b) (y₁ – b) = 2px₁ – 4ap + 2px

(y – b) (y₁ - b ) = 2p (x + 1 – 2a )

Dengan pendekatan yang sama akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti tabel dibawah ini:

No	Persamaan parabola	Persamaan garis singgung
1	(y – b)2 =  4p( x – a)	(y – b) (y1 – b) = 2p (x +x1 - 2a)
2	(y – b)2 = -  4p( x – a)	(y – b) (y1 – b) = - 2p (x +x1 - 2a)
3	(x – a)2 = 4p(y – b)	(x – a)(x1 – a) = 2p ( y + y1 -2b)
4	(x – a)2 = -  4p(y – b)	(x – a)(x1 – a) = - 2p ( y + y1 -2b)